Wszystko zależy od tego jak bardzo musimy się cofnąć. Zakładając że chcesz np. zrobić kalkulator(kilku pozycyjny, dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) potrzebował byś czegoś około 8051(
http://pl.wikipedia.org/wiki/Intel_8051) robienie tego ręcznie na układach TTL raczej nie ma większego sensu, za dużo roboty. Oczywiście korzystając z nowocześniejszych układów np. ATmega8 było by prościej, można by wiele elementów elektronicznych wyrzucić, bo są już wbudowanie w mikrokontroler.
Z tego co pamiętam, to pierwszy kalkulator powstał na 4004(
http://pl.wikipedia.org/wiki/Intel_4004), ale w przeciwieństwie do 8051 układ nie zyskał sporej popularności, więc nie wiem czy dziś gdzieś go można dostać.
EDIT:
Co do reszty pytań:
Czy z kawałka krzemu dało by się do czegoś dojść? Oczywiście że tak, ale zajęło by to dużo czasu i elementów, zakładając że masz dostęp do podstawowych elementów, rezystorów(robione z krzemu z domieszkami) i tranzystorów(robione także z krzemu, germanu, fosforu i innych domieszek) możesz zbudować bramkę logiczną, z bramek możesz budować większe układy, przerzutniki, multipleksery, pamięci itd. Przy czym musisz uwzględnić rozmiar tak zrobionej bramki, wyjdzie Ci pewnie 1 bramka na cm kwadratowy, a w współczesnych technologiach np. 22nm na cm kwadratowym mieszczą się miliardy tranzystorów. Odpowiadając na pytanie, używając rezystorów i tranzystorów dało by się zrobić Intel Pentium, ale zajęło by to masę miejsca, brało bardzo dużo prądu i było by bardzo awaryjne.
Co do pytania czy coś dało by się zrobić lepiej? Jasne że tak, może nie od strony samej technologii, czyli użycie innego pierwiastka zamiast krzemu, ale na pewno część którą nie jako wymyślili ludzie, już dziś wiadomo że architektura RISC daje lepsze efekty niż CISC, ale przecież nikt teraz nie wymieni wszystkich procesorów we wszystkich komputerach. Co więcej muszą trzymać wsteczną kompatybilność, więc nawet w nowym sprzęcie trzeba mieć zgodność z CISC. Procesory ARM korzystają już z RISC. Przykładów na rzeczy do poprawy jest masa.
Co do BIOSa czy DOSa od podstaw? Oczywiście że się da, nawet czasami się robi(głównie w systemach wbudowanych), pytanie tylko na jakim sprzęcie to ma potem działać. Jak sam sobie robisz np. ten kalkulator to decydujesz się na jakiś konkretny wyświetlacz czy klawiaturę, i Twój system wspiera tylko ten(no bo po co wspierać inne?). Dlatego właśnie na Linuxie są problemy ze sterownikami, bo Twórcy tego systemu, albo sprzętu nie wypuści sterownika np. do dysku i ten dysk nie działa w tym systemie.
